题目内容

（1）项数为奇数的等差数列｛an｝中，所有奇数项之和为20，所以偶数项之和为15，求这个数列的项数及中间一项;

（2）一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27.求公差d.

思路解析：根据等差数列前n项和公式列出方程组求解.注意等差数列性质的运用.

解：（1）设数列共有2n+1项，首项为a1，公差为d，其中奇数项共有n+1项，偶数项共有n项，中间一项是第n+1项.则有

解得an+1=5，n=3.

因此，数列共有7项，中间一项是a4=5.

（2）解法一：设此数列首项为a1，公差为d，则

12a1+d=354.                                                           ①

                                                   ②

解①②组成的方程组,得d=5.

解法二：

又S奇-S偶=6d，∴d=5.

深化升华

本题运用了方程的数学思想方法.

等差数列奇、偶数项与中间项的关系：

（1）若等差数列共有2n+1项，

则①S奇==（n+1）·an+1，

S偶==n·an+1.

②S2n+1=（2n+1）·an+1.

（2）若等差数列共有2n项，

则①S奇-S偶=nd；

②

③中间共两项an，an+1，S2n=n（an+an+1）.

练习册系列答案
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杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家.他的数学著作颇多,他编著的数学书共5种21卷,在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法.他的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面.杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律.古今中外,许多数学家如贾宪、朱世杰、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过,并将研究结果应用于其他工作.下图是一个11阶的杨辉三角:

 

试回答:(其中第(1)&(5)小题只需直接给出最后的结果,无需求解过程)

(1)记第i(i∈N*)行中从左到右的第j(j∈N*)个数为aij,则数列{aij}的通项公式为          ,

n阶杨辉三角中共有           个数;

(2)第k行各数的和是;

(3)n阶杨辉三角的所有数的和是;

(4)将第n行的所有数按从左到右的顺序合并在一起得到的多位数等于;

(5)第p(p∈N*,且p≥2)行除去两端的数字1以外的所有数都能被p整除,则整数p一定为(   )

A.奇数                B.质数              C.非偶数                D.合数

(6)在第3斜列中,前5个数依次为1、3、6、10、15;第4斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般地有这样的结论:

第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数.

试用含有m、k(m、k∈N*)的数学公式表示上述结论并证明其正确性.

数学公式为                   .

证明:                        .

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