Question

在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M是棱AB的中点．

(1)求证：BC∥平面A₁MD₁；

(2)求二面角A₁－D₁M－C的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解法1：(1)∵BC∥B1C1，B1C1∥A1D1，∴BC∥A1D1． 　　又A1D1平面A1MD1，BC平面A1MD1 　　∴BC∥平面A1MD1；　5分 　　(2)设平面A1MD1与棱DC相交于点N， 　　连结D1N，则点N是DC的中点． 　　∴A1D1⊥平面D1DCC1，A1D1平面A1MND1 　　∴平面A1MND1⊥平面D1DCC1， 　　且D1N是交线． 　　过点C作CH⊥D1N于H点， 　　则CH⊥平面A1MND1， 　　再过H作HO⊥D1M于O点， 　　连结CO，根据三垂线定理得CO⊥D1M， 　　从而∠COH是二面角C－D1M－N， 　　也就是所求二面角A1－D1M－C的补二面角的平面角　8分 　　设正方体的棱长为2，则在， 　　所以有 　　在，所以有 　　 　　又由于可求得 　　 　　所以在 　　进而有 　　根据三角形面积公式得 　　 　　从而在 　　因此所求的二面角　12分 　　解法2：分别以直线DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，并设　　正方体的棱长为2，则相关点的坐标分别为 　　A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，C(0，2，0)，M(2，1，0)　6分 　　 　　　8分 　　再设， 　　 　　令　10分 　　设是钝角，并且有 　　， 　　即为所求　12分