Question

已知命题p：f(x)=

1-a•3x

在x∈（-∞，0]上有意义，命题q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．如果p和q有且仅有一个正确，则a的取值范围

（-∞，

1

2

]∪（1，+∞）

．

Answer 1

分析：由函数f(x)=

1-a•3x

在x∈（-∞，0]上有意义可得p；由函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．可得ax²-x+a＞0恒成立，结合二次函数的性质可求q，而p和q有且仅有一个正确即是①p正确而q不正确，②q正确而p不正确，两种情况可求a的范围

解答：解：x∈（-∞，0]时，3^x∈（0，1]，
∵函数f(x)=

1-a•3x

在x∈（-∞，0]上有意义，
∴1-a•3^x≥0，∴a≤

1

3x

，
∴a≤1，
即使p正确的a的取值范围是：a≤1．（2分）
由函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．可得ax²-x+a＞0恒成立
（1）当a=0时，ax²-x+a=-x不能对一切实数恒大于0．
（2）当a≠0时，由题意可得，△=1-4a²＜0，且a＞0
∴a＞

1

2

．
故q正确：a＞

1

2

．（4分）
①若p正确而q不正确，则

a≤1 a≤ 1 2

，即a≤

1

2

，（6分）
②若q正确而p不正确，则

a＞1 a≤0，或a＞1

，即a＞1，（8分）
故所求的a的取值范围是：（-∞，

1

2

]∪（1，+∞）．
故答案为：（-∞，

1

2

]∪（1，+∞）．

点评：本题考查命题的真假判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的定义域的合理运用．