题目内容

已知f1（x）=exsinx，fn（x）=f'n-1（x），n≥2，则
2009i=1
fi(0)=
 
．
分析：利用乘积的导数的运算法则求出前几个fn（0）值，观察归纳得到一个等比数列，利用等比数列的前n项和公式求出值．
解答：解：∵f1（x）=exsinx
∴f2（x）=exsinx+excosx
f3（x）=2excosx
f4（x）=2excosx-2exsinx
f5（x）=-4exsinx=-4f1（x）
f6（x）=-4f2（x）
…
f1（0）=0；f2（0）=1；f3（0）=2；f4（0）=2；f5（0）=0；f6（0）=-4；f7（0）=-8；f8（0）=-8…
归纳得每四个的和构成一个5为首项，以-4为公比的等比数列
∴
2009
i=1
fi(0)=
5[1-(-4)502]
5
+f2009（0）=1-4502
故答案为：1-4502
点评：本题考查利用不完全归纳找规律；等比数列的前n项和公式．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设
AM
=λ
AB
．
（Ⅰ）证明：λ=1-e2；
（Ⅱ）若λ=
3
4
，△MF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；
（Ⅲ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形．
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于A，B两点．
（1）求证：直线l与双曲线C只有一个公共点；
（2）设直线l与双曲线C的公共点为M，且
AM
=λ
AB
，证明：λ+e2=1；
（3）设P是点F1关于直线l的对称点，当△PF1F2为等腰三角形时，求e的值．
（2013•韶关一模）已知f1(x)=x
1
2
，f2(x)=x2，f3(x)=ex，f4(x)=log
1
2
x，四个函数中，当0＜x1＜x2时，满足不等式
f(x1)+f(x2)
2
＜f(
x1+x2
2
)的是（　　）
已知函数f（x）=sinx+ex，令f1（x）=f′（x），f2（x）=f′1（x），f3（x）=f′2（x），…，fn+1（x）=f′n（x），则f2013（x）=（　　）
A、sinx+exB、cosx+exC、-sinx+exD、-cosx+ex

已知函数f(x)＝sinx＋ex＋x2 011，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，则f2 012(x)＝                                                          (　　)

A．sinx＋ex                         B. cosx＋ex

C．－sinx＋ex                       D．－cosx＋ex

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