Question

设函数f（x）=（x+a）1nx-x+a，a∈R．
（Ⅰ）设g（x）=f′（x），求函数g（x）的极值；
（Ⅱ）若a≥

1

e

，试研究函数f（x）=（x+a）1nx-x+a的零点个数．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=（x+a）1nx-x+a，a∈R，
∴g（x）=f′（x）=lnx+

a

x

，x＞0．
∴g′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，
①当a≤0时，g′（x）＞0恒成立，
g（x）在（0，+∞）上是增函数，无极值．
②当a＞0时，x=a，
当x∈（0，a）时，g（x）单调递减；当x∈（a，+∞）时，g（x）单调递增，
∴g（x）的极小值g（a）=lna+1，无极大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的极小值g（a）=lna+1≥ln

1

e

+1=0，
∴g（x）_min≥0，即f′（x）≥0恒成立．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∵f（

1

e

）=（

1

e

+a）ln

1

e

 -

1

e

+a
=-

1

e

-a-

1

e

+a=-

2

e

＜0，
f（e）=（e+a）lne-e+a
=e+a-e+a=2a≥

2

e

＞0，
∴f（x）在（

1

e

，e）中有一个零点，
∴函数f（x）=（x+a）1nx-x+a的零点个数为1个．