Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosx，sinx），

c

=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），其中0＜α＜x＜π．
（1）若α=

π

4

，求函数f（x）=

b

•

c

的最小值及相应x的值；
（2）若

a

与

b

的夹角为

π

3

，且

a

⊥

c

，求tan2α的值．

Answer 1

分析：（1）根据向量点乘表示出函数f（x）的解析式后令t=sinx+cosx转化为二次函数解题．
（2）根据向量a与b的夹角为

π

3

确定x-α=

π

3

，再由a⊥c可知向量a点乘向量c等于0整理可得sin（x+α）+2sin2α=0，再将x- α=

π

3

代入即可得到答案．

解答：解：（1）∵

b

=（cosx，sinx），

c

=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），α=

π

4

，
∴f（x）=

b

•

c

=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα=2sinxcosx+

2

(sinx+cosx)．
令t=sinx+cosx（0＜x＜π），则t=

2

sin(x+

π

4

)，
则2sinxcosx=t²-1，且-1＜t≤

2

．
则y=f(x)=t2+

2

t-1=(t+

2

2

)2-

3

2

，-1＜t≤

2

．
∴t=-

2

2

时，ymin=-

3

2

，此时sinx+cosx=-

2

2

．
由于0＜x＜π，故x=

11π

12

．
所以函数f（x）的最小值为-

3

2

，相应x的值为

11π

12

；
（2）∵

a

与

b

的夹角为

π

3

，
∴coss

π

3

=

a•b

|a|•|b|

=cosαcosx+sinαsinx=cos(x-α)．
∵0＜α＜x＜π，∴0＜x-α＜π，∴x-α=

π

3

．
∵

a

⊥

c

，∴cosα（sinx+2sinα）+sinα（cosx+2cosα）=0．
∴sin（x+α）+2sin2α=0，sin(2α+

π

3

)+2sin2α=0．
∴

5

2

sin2α+

3

2

cos2α=0，
∴tan2α=-

3

5

．

点评：本题主要考查平面向量的坐标运算和数量积运算．向量一般和三角函数放在一起进行考查，这种题型是高考的热点，每年必考．