Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，D、E分别为BB₁、AC₁的中点，
（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB₁与AC₁的公垂线；
（Ⅱ）设AA₁=AC=AB，求二面角A₁-AD-C₁的大小。

Answer 1

（Ⅰ）证明：设O为AC中点，连结EO，BO，则EOC1C， 又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，ED∥OB， ∵AB=BC， ∴BO⊥AC， 又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO面ABC， 故BO⊥平面ACC1A1， ∴ED⊥平面ACC1A1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线。 （Ⅱ）解：连结A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形， ∴A1E⊥AC1， 又由ED⊥平面A1ACC1和ED平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1， ∴A1E⊥平面ADC1，作EF⊥AD，垂足为F，连结A1F， 则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1-AD-C1的平面角， 不妨设AA1=2，则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF=， tan∠A1FE=， ∴∠A1FE=60°， 所以二面角A1-AD-C1为60°。