Question

已知f(x)=

2

3

x3-ax2-3x，(a∈R)．
（1）当|a|≤

1

2

时，求证：f（x）在（-1，1）内是减函数；
（2）若y=f（x）在（-1，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，根据|a|≤

1

2

的范围得到f′（-1）≤0且f′（1）≤0，因为导函数图象开口向上，所以导函数小于0，得到函数为减函数；
（2）设极值点为x₀∈（-1，1），则f′（x₀）=0，当a＞

1

2

时，f（x）在（-1，x₀）内是增函数，f（x）在（x₀，1）内是减函数．根据极值点的存在与否得到a的范围即可．

解答：解：（1）证明：∵f（x）=

2

3

x³-ax²-3x，
∴f′（x）=2x²-2ax-3．∵|a|≤

1

2

，∴

f′(-1)=2(a- 1 2 )≤0 f′(1)=-2(a+ 1 2 )≤0.

又∵二次函数f′（x）的图象开口向上，?
∴在（-1，1）内f′（x）＜0．故f（x）在（-1，1）内是减函数．
（2）设极值点为x₀∈（-1，1），则f′（x₀）=0，?
当a＞

1

2

时，∵

f′(-1)=2(a- 1 2 )＞0 f′(1)=-2(a+ 1 2 )＜0.

?
∴在（-1，x₀）内f′（x）＞0，在（x₀，1）内f′（x）＜0，?
即f（x）在（-1，x₀）内是增函数，f（x）在（x₀，1）内是减函数．?
∴当a＞

1

2

时f（x）在（-1，1）内有且只有一个极值点且是极大值点．?
当a＜-

1

2

时，同理可知f（x）在（-1，1）内有且只有一个极值点，且是极小值点．
当-

1

2

≤a≤

1

2

时，由（1）知f（x）在（-1，1）内没有极值点．
故所求a的取值范围是（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．

点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用导数研究函数极值的能力．