Question

已知f(x)=

2

3

x(x2-3ax-

9

2

)(a∈R)．
（I）若过函数f（x）图象上一点P（1，t）的切线与直线x-2y+b=0垂直，求t的值；
（II）若函数f（x）在（-1，1）内是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出导函数，求出导函数在x=1处的值，即切线的斜率，利用两直线垂直斜率之积为-1，列出方程求出a的值．
（2）令导函数在（-1，1）上的值小于等于0恒成立，解决二次不等式恒成立结合二次函数的图象，令区间两个端点的值小于等于0．

解答：解：（1）∵f(x)=

2

3

x3-2ax2-3x，∴f'（x）=2x²-4ax-3．
则过P（1，t）的切线斜率为k=f′（1）=-1-4a．（2分）
又∵它与直线x-2y+b=0垂直，∴-1-4a=-2，即a=

1

4

，．（4分）
∴f(x)=

2

3

x3-

1

2

x2-3x又∵P（1，t）在f（x）的图象上，∴t=-

17

6

（6分）
（2）∵函数f（x）在（-1，1）内是减函数
∴f'（x）=2x²-4ax-3≤0对于一切x∈（-1，1）恒成立．（8分）
∵二次函数f'（x）的图象开口向上，
∴

f′(-1)=2+4a-3≤0 f′(1)=2-4a-3≤0

（10分）
∴-

1

4

≤a≤

1

4

（12分）

点评：已知函数的单调性求参数的范围，当递增时，令其导数大于等于0恒成立；当递减时，令其导数小于等于0恒成立