Question

【题目】已知点在平行于轴的直线上，且与轴的交点为，动点满足平行于轴，且.

（1）求出点的轨迹方程.

（2）设点，，求的最小值，并写出此时点的坐标.

（3）过点的直线与点的轨迹交于.两点，求证.两点的横坐标乘积为定值.

Answer 1

【答案】（1）点的轨迹方程为；（2）最小值为7，点坐标为；（3）证明见解析

【解析】

（1）设出点坐标，由此求出点坐标，利用则列方程，化简后求得点的轨迹方程.

（2）由于是抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知、、三点共线时的值最小，由点坐标和准线方程，求得最小值以及点的坐标.

（3）设出过点的直线方程，与联立，利用韦达定理证得两点的横坐标乘积为定值.

（1）设动点，则由已知有，

故，，

因为，所以，

所以，

即：.

（2）由题意，点为抛物线的焦点，故即为点到准线的距离，

所以、、三点共线时的值最小，

即为点到准线的距离， 所以最小值为7，

此时点的纵坐标为点的纵坐标，代入，，

所以所求最小值为7，此时点的坐标为.

（3）由题意可设点.过点的直线为与联立得：

，

所以，

所以 ，

所以.两点的横坐标乘积为定值.