Question

5．已知正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃=12，且a₁，a₂，a₃+2成等比数列．
（Ⅰ） 求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 若b_n=3ⁿa_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设正项等差数列{a_n}的公差为d，故d＞0．由a₁，a₂，a₃+2成等比数列，可得$（{a}_{1}+d）^{2}$=a₁（a₁+2d+2）．又S₃=12=$3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d$，联立解出即可．
（Ⅱ）b_n=2n•3ⁿ，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设正项等差数列{a_n}的公差为d，故d＞0．
∵a₁，a₂，a₃+2成等比数列，
则${a}_{2}^{2}$=a₁（a₃+2），
即$（{a}_{1}+d）^{2}$=a₁（a₁+2d+2）．
又S₃=12=$3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=8}\\{d=-4}\end{array}\right.$（舍去），
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．
（Ⅱ）b_n=2n•3ⁿ，
∴T_n=2×3+2×2×3²+…+2n•3ⁿ，
∴3T_n=2×3²+4×3³+…+（2n-2）•3ⁿ+2n•3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=2×3+2（3²+3³+…+3ⁿ）-2n×3ⁿ⁺¹
=$2×\frac{3×（{3}^{n}-1）}{3-1}$-2n×3ⁿ⁺¹=（1-2n）×3ⁿ⁺¹-3，
∴${T}_{n}=\frac{（2n-1）×{3}^{n+1}}{2}$+$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”等基础知识；考查推理论证与运算求解能力，属于中档题．