Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知（2a-c）cosB-bcosC=0，且b=

13

，△ABC的面积等于3

3

，求a，c的值．

Answer 1

分析：由条件利用正弦定理可得2sinAcosB=sinA，可得cosB=

1

2

，由△ABC的面积等于3

3

=

1

2

ac•sinB，求得ac=12 ①．再由余弦定理求得a+c=7 ②．综合①②求得a，c的值．

解答：解：在△ABC中，∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理可得 （2sinA-sinC）cosB=sinBcosC． …（2分）
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA． …（4分）
∵A∈（0，π），∴sinA≠0，∴cosB=

1

2

．  又∵0＜B＜π，∴B=

π

3

．
由于△ABC的面积等于3

3

=

1

2

ac•sinB=

3

4

ac，∴ac=12  ①．
根据余弦定理 b²=13=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-3ac=（a+c）²=36，
∴（a+c）²=49，∴a+c=7 ②．
由①②解得 a=3，c=4； 或a=4，c=3．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理、诱导公式的应用，属于中档题．