已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1过点(1.$\frac{\sqrt{3}}{2}$).且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．(1)求椭圆C的标准方程,(2)若点P与点Q均在椭圆C上.且P.Q关于原点对称.问:椭圆上是否存在点M.使得△PQM为等边三角形?若存在.求出点M的坐标,若不存在.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P与点Q均在椭圆C上，且P，Q关于原点对称，问：椭圆上是否存在点M（点M在第一象限），使得△PQM为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）列方程组解出a，b；
（2）设PQ方程为y=kx，则OM方程为y=-$\frac{1}{k}$x，联立方程组解出P，Q，M的坐标，根据等边三角形的性质列方程组求出k即可得出M的坐标．

解答解：（1）∵椭圆过点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），且e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}-{b}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）假设椭圆上是否存在点M（点M在第一象限），使得△PQM为等边三角形，
设直线PQ的方程为y=kx，则直线OM的方程为y=-$\frac{1}{k}$x．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$得P（$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），Q（-$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，-$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），
同理可得M（$\frac{2|k|}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$，$\frac{2}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$）．
∴|OP|=$\sqrt{\frac{4+4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}$，|OM|=$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+4}{4+{k}^{2}}}$．
∵△PQM为等边三角形，∴|OM|=$\sqrt{3}$|OP|，
∴$\frac{4{k}^{2}+4}{4+{k}^{2}}$=$\frac{12+12{k}^{2}}{1+{4k}^{2}}$，解得k=$±\sqrt{11}$．
M（$\frac{2\sqrt{11}}{\sqrt{15}}$，$\frac{2}{\sqrt{15}}$），即M（$\frac{2\sqrt{165}}{15}$，$\frac{2\sqrt{15}}{15}$）．

点评本题考了椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．