Question

7．函数f（x）=$\frac{x}{{{x^2}+a}}$的图象可能是（　　）

• A． （1）（3）
• B． （1）（2）（4）
• C． （2）（3）（4）
• D． （1）（2）（3）（4）

Answer 1

分析 分别令a=0，a＞0，a＜0，根据导数和函数的单调性即可判断．

解答 解：f（x）=$\frac{x}{{{x^2}+a}}$，可取a=0，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{x}$，故（4）正确；
∴f′（x）=$\frac{a-{x}^{2}}{（{x}^{2}+a）^{2}}$，
当a＜0时，函数f′（x）＜0恒成立，x²+a=0，解得x=±$\sqrt{-a}$
故函数f（x）在（-∞，-$\sqrt{-a}$），（-$\sqrt{-a}$，$\sqrt{-a}$），（$\sqrt{-a}$，+∞）上单调递减，故（3）正确；
取a＞0，f′（x）=0，解得x=±$\sqrt{a}$，
当f′（x）＞0，即x∈（-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）时，函数单调递增，
当f′（x）＜0，即x∈（-∞，-$\sqrt{a}$），（$\sqrt{a}$，+∞）时，函数单调递减，故（2）正确
函数f（x）=$\frac{x}{{{x^2}+a}}$的图象可能是（2），（3），（4），
故选：C

点评 本题考查了函数图象的识别，以及导数和函数的单调性的关系，属于中档题．