Question

首项为正数的数列{a_n}满足a_n+1=（a_n²+3），n∈N*，
(Ⅰ)证明：若a₁为奇数，则对一切n≥2，a_n都是奇数；
(Ⅱ)若对一切n∈N*，都有a_n+1＞a_n，求a₁的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）已知a₁是奇数，假设是奇数，其中m为正整数，
则由递推关系得是奇数。
根据数学归纳法，对任何n∈N₊，a_n都是奇数。
（Ⅱ）由知，，当且仅当；
另一方面，若，则；
若，则，
根据数学归纳法，；
综合所述，对一切n∈N₊都有的充要条件是。