题目内容

求数列，，，，…的通项公式，并求其前n项和.

an=n+.

　　Sn=（1+）+（2+）+（3+）+…+（n+）

　　=（1+2+3+…+n）+（+++…+）

　　=+=+1-.


解析:

   拆项法是求特殊数列前n项和的常用方法，遇到数列的项之间的规律不明显时，可考虑采用拆项法，从而找到各项之间的规律，求出通项公式. 乍一看似乎数列的各项之间没有什么规律可循，将题中各项变形可得=1+，=2+，=3+，=4+.

练习册系列答案
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已知数列{an}是以4为首项的正数数列，双曲线an-1y2-anx2=an-1an的一个焦点坐标为(0，
cn
)(n≥2)，且c1=6，一条渐近线方程为y=
2
x．
（1）求数列{cn}（n∈N*）的通项公式；
（2）试判断：对一切自然数n（n∈N*），不等式
1
c1
+
2
c2
+
3
c3
+…+
n
cn
+
n
3•2n
＜
2
3
是否恒成立？并说明理由．
已知数列{an}（n∈N*）是由正数组成的等差数列，并且a3=5，a4•（a1+a2）=28，bn=pan+1（p为非零实常数）
（1）求数列{an}（n∈N*）的通项
（2）求b1+b2+…+bn（n∈N*）
（2012•宝山区一模）已知函数f（x）=log2x，若2，f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an），2n+4，…，（n∈N*）成等差数列．
（1）求数列{an}（n∈N*）的通项公式；
（2）设g（k）是不等式log2x+log2（3
ak
-x）≥2k+3（k∈N*）整数解的个数，求g（k）；
（3）记数列{
12
an
}的前n项和为Sn，是否存在正数λ，对任意正整数n，k，使Sn-λ
ak
＜λ2恒成立？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
（2012•黄浦区二模）某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）．若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用an(n∈N*)表示A型车床在第n年创造的价值．
（1）求数列{an}（n∈N*）的通项公式an；
（2）记Sn为数列{an}的前n项的和，Tn=
Sn
n
．企业经过成本核算，若Tn＞100万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床．试问该企业须在第几年年初更换A型车床？（已知：若正数数列{bn}是单调递减数列，则数列{
b1+b2+…+bn
n
}也是单调递减数列）．
（2008•青浦区一模）已知f（x）=log2x，若2，f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an），2n+4，…（n∈N*）成等差数列．
（1）求数列{an}（n∈N*）的通项公式；
（2）设g（k）是不等式log2x+log2(3
ak
-x)≥2k+3(k∈N*)整数解的个数，求g（k）；
（3）在（2）的条件下，试求一个数列{bn}，使得
lim
n→∞
[
1
g(1)g(2)
b1+
1
g(2)g(3)
b2+…
1
g(n)g(n+1)
bn]=
1
5
．

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