Question

【题目】已知函数f（x）=，把方程f（x）-x=0的根按从小到大顺序排成一个数列，则该数列的前n项和Sn=_________。

Answer 1

【答案】

【解析】解答：

当时,有,则，

当时,有,则，

当时,有,则，

当时,有,则，

以此类推,当 (其中)时,则，

所以,函数的图象与直线的交点为：(0,1)和(1,2)，

由于指数函数为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点。

然后①将函数和y=x+1的图象同时向下平移一个单位,即得到函数和的图象，

取的部分,可见它们有且仅有一个交点(0,0).

即当时,方程有且仅有一个根x=0.

②取①中函数和图象的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，

即得和y=x在0<x1上的图象,此时它们仍然只有一个交点(1,1).

即当0<x1时,方程f(x)x=0有且仅有一个根x=1.

③取②中函数和y=x在0<x1上的图象，继续按照上述步骤进行，

即得到和y=x在1<x2上的图象,此时它们仍然只有一个交点(2,2).

即当1<x2时,方程f(x)x=0有且仅有一个根x=2.

④以此类推,函数y=f(x)与y=x在(2,3],(3,4],…,(n,n+1]上的交点依次为(3,3),(4,4),…(n+1,n+1).

即方程f(x)x=0在(2,3],(3,4],…(n,n+1]上的根依次为3，4，…，n+1.

综上所述方程f(x)x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：

0，1，2，3，4，…，

∴该数列的前n项和,n∈N+.

故答案为： .