Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，∠A₁AC=60°，AA₁=AC=BC=1，．
（1）求证：平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）如果D为AB的中点，求证：BC₁∥平面A₁CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等边三角形的判定、勾股定理的逆定理、及线面、面面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）利用平行四边形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明．
解答：证明：（1）在，∴A₁C=1，
在△A₁BC中，BC=1，A₁C=1，，∴，∴，∴BC⊥A₁C，
又AA₁⊥BC，AA₁∩A₁C=A₁，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∵BC?平面A₁BC，
∴平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁．
（2）连接A₁C交AC₁于O，连接DO，
则由D为AB中点，O为AC₁中点得，OD∥BC₁，
∵OD?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，
∴BC₁∥平面A₁DC．
点评：熟练掌握等边三角形的判定、勾股定理的逆定理、及线面、面面垂直与平行的判定定理和性质定理、平行四边形的性质、三角形的中位线定理是证明问题的关键．