题目内容

数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n≥2，n∈N^），a₁=27，
（1）记 $数学公式$ ，是否存在实数t，使数列{b_n}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，说明理由？
（2）设 $数学公式$ ，试求使不等式（1+C₁）（1+C₂）… $数学公式$ 对所有n∈N^成立的最大实数k．

解：（1）假设存在实数t，使得{b_n}为等差数列．则2b_n=b_n-1+b_n+1∴ $\text{[math]}$
∴4a_n=4a_n-1+a_n+1+t
∴ $\text{[math]}$
∴t=1
即存在t=1，使得数列{b_n}为等差数列．
（2）由（1）知： $\text{[math]}$ 原不等式等价于
$\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
∴g（n）为单增数列，故 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴最大实数k为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）假设存在实数t，使得{b_n}为等差数列，从而有2b_n=b_n-1+b_n+1，故可求；
（2）由（1）知： $\text{[math]}$ 原不等式等价于
$\text{[math]}$ ，利用分离参数法，再考查 $\text{[math]}$ 的单调性，利用其最小值，可求
最大实数k的值．
点评：本题以数列为载体，考查数列与不等式的综合，考查数列的通项公式的求法，存在性问题的求解，关键是分离参数，利用最值求解．

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