Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F做双曲线C的一条渐近线的垂线，与双曲线交于M，垂足为N，若M为线段FN的中点，则双曲线C的离心率为

 

．

Answer 1

分析：根据题意可表示出渐近线方程，进而可知FN的斜率，设出N的坐标代入渐近线方程求得x的表达式，则N的坐标可知，进而求得M的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．

解答：解：设F（c，0）相应的渐近线：y=

b

a

x，
则根据直线FN的斜率为-

a

b

，设N（x，

b

a

x），代入双曲线渐近线方程求出x=

a2

c

，
则N（

a2

c

，

ab

c

），则M（

a2+c2

2c

，

ab

2c

），
把M点坐标代入双曲线方程

x2

a2

-

y2

b2

=1中，整理求得

c

a

=

2

，即离心率为

2

故答案为：

2

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过分析题设中的信息，找到双曲线方程中a和c的关系．