Question

已知函数f（x）=x²-4|x|+1，若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为1，则a的取值范围为

[-

1

2

0]∪{

3

2

}

．

Answer 1

分析：f（x）=

x2-4x+1  ，  x≥0 x2+4x+1  ， x＜0

，令f（x）=1可得 x=-4，或x=0，或 x=4．当-1＜a≤0时，应有2a+1≥0，由此求得a的取值范围，当a＞0时，应有2a+1=4，由此求得a的值，综合可得a的取值范围．

解答：解：函数f（x）=x²-4|x|+1是偶函数，图象关于y轴对称． 且f（x）=

x2-4x+1  ，  x≥0 x2+4x+1  ， x＜0

，令f（x）=1可得 x=-4，或x=0，或 x=4．
若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为1，∴a＜2a+1，解得a＞-1．
当-1＜a≤0时，应有2a+1≥0，由此求得-

1

2

≤a≤0．
当a＞0时，应有2a+1=4，解得 a=

3

2

．
综上可得，a的取值范围为[-

1

2

 0]∪{

3

2

}，
故答案为[-

1

2

0]∪{

3

2

}．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．