Question

已知双曲线C₁：2x²－y²＝2m²(m＞0)，抛物线C₂的顶点在原点，焦点F与C₁的左焦点重合．

(1)求证C₁与C₂总有两个不同的交点；

(2)是否存在过抛物线C₂的焦点F的弦AB，使△AOB的面积有最大值或最小值？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)C1的方程为－＝1①，它的左焦点为F(－m，0)，C2的方程为y2＝－4mx②，把②代入①整理得x2＋2mx－m2＝0(m＞0)③，因为Δ＝16m2＞0，故方程③有两个不等的实根x1，x2，因为x1x2＝－m2＜0，不妨设x1＞0，x2＜0，则＝－4mx1＜0不成立，＝－4mx2＞0，故C1和C2总有两个不同的交点． 　　(2)若AB⊥x轴，易得S△AOB＝AB·OF＝×4m·m＝6m2，若AB不垂直于x轴，设AB的方程为y＝tanθ(x＋m)(0＜θ＜π，且θ≠＝，代入C2得：y2＋4mycotθ－12m2＝0，因为|AB|＝，而|AB|＝＝，所以|y1－y2|＝|AB|sinθ＝·sinθ＝，所以S△AOB＝|y1－y2|·|OF|＝＞6m2，故S△AOB有最小值6m2，此时AB⊥x轴，AB方程为x＝m．