Question

函数f（x）=（3sinx-4cosx）•|cosx|的最大值为（　　）

• A．5
• B．

  9

  2

• C．

  1

  2

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：根据x范围，分cosx大于0与小于0两种情况考虑，将绝对值化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域确定出各种的最大值，比较即可确定出函数f（x）的最大值．

解答：解：分两种情况考虑：
（i）当x∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，其中k∈Z时，cosx＞0，
f（x）=（3sinx-4cosx）cosx=3sinxcosx-4cos²x=

3

2

sin2x-2（1+cos2x）
=

1

2

（3sin2x-4cos2x）-2=

5

2

（

3

5

sin2x-

4

5

cos2x）-2=

5

2

sin（2x+θ）-2，最大值为

5

2

-2=

1

2

；
（ii）当x∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，其中k∈Z，cosx＜0，
f（x）=-（3sinx-4cosx）cosx=（-3sinx+4cosx）cosx=-3sinxcosx+4cos²x=-

3

2

sin2x+2（1+cos2x）
=

1

2

（4cos2x-3sin2x）+2=

5

2

（

4

5

cos2x-

3

5

sin2x）+2=

5

2

sin（α-2x）+2，最大值为

5

2

+2=

9

2

，
综上，函数f（x）=（3sinx-4cosx）•|cosx|的最大值为

9

2

．
故选B

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．