题目内容
【题目】在直三棱柱
中，
，
，
．
（1）求异面直线
与
所成角的正切值；
（2）求直线
与平面
所成角的余弦值．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系
.
（1）利用空间向量法求出
与
所成角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案；
（2）利用空间向量法求出直线
与平面
所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案.
在直三棱柱
中，
，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则点
、
、
、
、
、
.
（1）设异面直线与所成角为
，
，
，
，即
，
，
则
，因此，异面直线与所成角的正切值为；
（2）设直线与平面所成角为
，设平面的一个法向量为
，
，
，
，
由
，得
，取
，得
，
所以，平面的一个法向量为，
，
，则
.
因此，直线与平面所成角的余弦值为.
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