Question

某老板拟赞助甲，乙，丙，丁四位年轻人创业，现聘请了六位实业家，独立地对每位年轻人的创业方案进行投票，假设这六位实业家对甲，乙，丙，丁投票结果为“赞成”的概率分别为

1

6

，

1

4

，

1

3

，

3

4

，若某年轻人没有人“赞成”，则老板只赞助他1万元，且每多获得一个人的“赞成”，就多给2万元的创业赞助；令ξ₁，ξ₂，ξ₃，ξ₄分别表示甲，乙，丙，丁获得的赞助额．
（1）写出ξ₃的分布列和ξ₃的数学期望与方差；（相应概率可用组合数表示）
（2）试估计这位老板的赞助总额．

Answer 1

分析：（1）ξ₃的取值可能为1，3，5，7，9，11，13，然后分别计算相应的概率，得到分布列，记η₃表示“赞成”丙的人数，则η₃～B（6，

1

3

），再利用二项分布的概率公式可求出Eη₃，Dη₃，而ξ₃=1+2η₃可求出所求；
（2）同理分别求出Eξ₁，Eξ₂，Eξ₄，将这些值与Eξ₃相加即可求出所求．

解答：解：（1）ξ₃的取值可能为1，3，5，7，9，11，13
P（ξ₃=1）=

C

0 6

(

1

3

)0(

2

3

)8，P（ξ₃=3）=

C

1 6

(

1

3

)1(

2

3

)5，P（ξ₃=5）=

C

2 6

(

1

3

)2(

2

3

)4，P（ξ₃=7）=

C

3 6

(

1

3

)3(

2

3

)3，
P（ξ₃=9）=

C

4 6

(

1

3

)4(

2

3

)2，P（ξ₃=11）=

C

5 6

(

1

3

)5(

2

3

)1，P（ξ₃=13）=

C

6 6

(

1

3

)6(

2

3

)0
ξ₃的分布列为：

ξ 3	1	3	5	7	9	11	13
P	C 0 6 ( 1 3 )0( 2 3 )8	C 1 6 ( 1 3 )1( 2 3 )5	C 2 6 ( 1 3 )2( 2 3 )4	C 3 6 ( 1 3 )3( 2 3 )3	C 4 6 ( 1 3 )4( 2 3 )2	C 5 6 ( 1 3 )5( 2 3 )1	C 6 6 ( 1 3 )6( 2 3 )0

记η₃表示“赞成”丙的人数，则η₃～B（6，

1

3

），
则根据二项分布的数学期望公式可知Eη₃=6×

1

3

=2，Dη₃=

4

3

，
而ξ₃=1+2η₃，故Eξ₃=1+2Eη₃=5，Dξ₃=4Dη₃=

16

3

，
所以ξ₃的数学期望为5万元，方差为

16

3

．
（2）同理Eξ₁=1+2Eη₁=3，Eξ₂=1+2Eη₂=4，Eξ₄=1+2Eη₄=10，Eξ₃=1+2Eη₃=5
估计这位老板的赞助总额为Eξ₁+Eξ₂+Eξ₃+Eξ₄=22万元．

点评：本题主要考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，以及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，同时考查了计算能力，属于中档题．