Question

数列{a_n}是等比数列,项数为偶数,各项为正,它所有项的和等于偶数项和的4倍,且第二项与第四项的积是第三项和第四项和的9倍,试问数列{lga_n}的前多少项和最大.

     

Answer 1

思路分析:欲求{lga_n}的前几项和最大,只需先求出等比数列的通项公式a_n.由条件可设出基本量——首项和公比,再求出a_n,进而求出lga_n,并判断数列{lga_n}的类型,然后求出其前多少项和最大.

    解法一:设数列{a_n}的首项为a₁,公比为q,由题意有q≠1,从而

=4,

    即=1,

∴q=.

    又∵a₁q·a₁q³=9(a₁q²+a₁q³),

∴a₁=2²·3³,a_n=2²·3³·=.

∴lga_n=2lg2-(n-4)lg3.

    当n≥2时,lga_n-lga_n-1=2lg2-(n-4)lg3-［2lg2-(n-5)lg3］=-lg3＜0,

∴数列{lga_n}是递减的等差数列且lga₁=lg2²·3³＞0.

    设数列{lga_n}的前n项和最大,则有即

∴

    又∵1＜log₃4＜2且n∈N^*,

∴n=5,即数列{lga_n}的前5项和最大.

    解法二:设{a_n}的首项为a₁,公比为q,项数为n,则

    解之,得q=,a₁=108.

∵lga_n+1-lga_n=lg(a₁qⁿ)-lg(a₁q^n-1)=lgq,

∴{lga_n}是首项为lga₁,公差为lgq的等差数列,

lga₁=2lg2+3lg3,d=lgq=lg=-lg3.

    据等差数列的前n项和公式有

S_n=［2lga₁+(n-1)d］

=［4lg2+6lg3+(n-1)(-lg3)］

=(4lg2+7lg3-nlg3)

=-［n²-(+7)n］,

∴当n=(+7)≈5时,S_n有最大值.也就是说,数列{lga_n}的前5项和最大.