题目内容
广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为X万美元，可获得的加工费近似地为
ln（2x+1）万美元，受美联储货币政策的影响，美元?值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元赔值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指数是m∈（0，1），从而实际所得的加工费为f（x）=
ln（2x+1）-mx（万美元）．
（1）若某时期美元贬值指数m=
，为确保企业实际所得加工费随X的增加而增加，该企业加工产品订单的金额X应在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为X万美元时共需要的生产成本为
x万美元，己知该企业加工生产能力为x∈[10，20]（其中X为产品订单的金额），试问美元的贬值指数m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（1）若某时期美元贬值指数m=
| 1 |
| 200 |
（2）若该企业加工产品订单的金额为X万美元时共需要的生产成本为
| 1 |
| 20 |
（1）由已知m=
，f（x）=
ln（2x+1）-
，（其中x＞0）；
∴f′（x）=
-
=
；
由f′（x）＞0，即199-2x＞0，解得0＜x＜99.5；
即加工产品订单金额x∈（0，99.5）（单位：万美元）时，该企业的加工费随x的增加不断增长．
（2）依题意，企业加工生产不出现亏损，则
当x∈[10，20]时，都有
ln（2x+1）-mx≥
x，即
+m≤
，
令g（x）=
，x∈[10，20]，则
g′（x）=
=
；
令h（x）=2x-（2x+1）ln（2x+1），则
h′（x）=2-[2ln（2x+1）+（2x+1）
]=-2ln（2x+1）＜0，
可知h（x）在[10，20]上单调递减，从而h（20）≤h（x）≤h（10）；
又h（10）=20-21ln21＜21（1-ln21）＜0，
即x∈[10，20]时，知g（x）在[10，20]上单调递减，
因此，gmin（x）=
，即m≤
-
；
故当美元的贬值指数m∈(0，
]时，该企业加工生产不会亏损．
| 1 |
| 200 |
| 1 |
| 2 |
| x |
| 200 |
∴f′（x）=
| 1 |
| 2x+1 |
| 1 |
| 200 |
| 199-2x |
| 200(2x+1) |
由f′（x）＞0，即199-2x＞0，解得0＜x＜99.5；
即加工产品订单金额x∈（0，99.5）（单位：万美元）时，该企业的加工费随x的增加不断增长．
（2）依题意，企业加工生产不出现亏损，则
当x∈[10，20]时，都有
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 20 |
| 1 |
| 20 |
| ln(2x+1) |
| 2x |
令g（x）=
| ln(2x+1) |
| 2x |
g′（x）=
| ||
| 2x2 |
| 2x-(2x+1)ln(2x+1) |
| 2x2(2x+1) |
令h（x）=2x-（2x+1）ln（2x+1），则
h′（x）=2-[2ln（2x+1）+（2x+1）
| 2 |
| 2x+1 |
可知h（x）在[10，20]上单调递减，从而h（20）≤h（x）≤h（10）；
又h（10）=20-21ln21＜21（1-ln21）＜0，
即x∈[10，20]时，知g（x）在[10，20]上单调递减，
因此，gmin（x）=
| ln41 |
| 40 |
| ln41 |
| 40 |
| 1 |
| 20 |
故当美元的贬值指数m∈(0，
| ln41-2 |
| 40 |
练习册系列答案
相关题目