Question

设O为坐标原点，抛物线y²=4x与过焦点的直线交于A、B两点，则

OA

•

OB

=（　　）

• A．-

  3

  4

• B．

  3

  4

• C．-3
• D．3

Answer 1

分析：由抛物线y²=4x与过其焦点（1，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点坐标，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂，由韦达定理可以求得答案．

解答：解：由题意知，抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），
∴设直线AB的方程为y=k（x-1），
由

y2=4x y=k(x-1)

⇒k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
则 x1+x2=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1．
∴y₁•y₂=k（x₁-1）•k（x₂-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=1+k²[2-

2k2+4

k2

]=-3．
当斜率不存在时仍然成立．
故选C．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决，属于基础题．需要注意对斜率不存在的情况加以研究．