Question

在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，-

3

），（0，

3

）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点．
（1）写出C的方程；
（2）若

OA

⊥

OB

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由题中条件：“点P到两点（0，-

3

），（0，

3

）的距离之和等于4，”结合椭圆的定义知其轨迹式样，从而求得其方程．
（2）先将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y得到一个一元二次方程，再利用根与系数的关系结合向量垂直的条件列关于k方程式即可求得参数k值．

解答：解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，-

3

），（0，

3

）为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b=

22-( 3 )2

=1，故曲线C的方程为x²+

y2

4

=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足

x2+ y2 4 =1 y=kx+1

消去y并整理得
（k²+4）x²+2kx-3=0，
故x₁+x₂=-

2k

k2+4

，x₁x₂=-

3

k2+4

．
∵

OA

⊥

OB

∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∵y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴x₁x₂+y₁y₂=-

3

k2+4

-

3k2

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=0，化简得-4k²+1=0，所以k=±

1

2

．

点评：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的综合问题及方程思想，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．