Question

在球内有相距1 cm的两个平行截面,截面面积分别是5π cm²和8π cm²,球心不在截面之间,求球面的面积.

Answer 1

思路分析:已知截面面积,也就能求出截面半径.要求球的面积,只要求出球的半径即可.设球的半径为R,利用几何关系,容易得到球心到两截面的距离分别为和,由于球心不在截面之间,即两截面在同一侧,故这两个距离相减即得到两平面之间距离.

解:如图1-3-8,圆O是球的大圆,A₁B₁、A₂B₂分别是两条平行于截面圆的直径,过O作OC₁⊥A₁B₁于C₁,交A₂B₂于C₂.

由于A₁B₁∥A₂B₂,所以OC₂⊥A₂B₂.

由圆的性质可得,C₁和C₂分别是A₁B₁和A₂B₂的中点.

图1-3-8

设两平行平面的半径分别为r₁和r₂,且r₁＜r₂,

依题意πr₁²=5π,πr₂²=8π,

∴r₁²=5,r₂²=8.

∵OA₁和OA₂都是球的半径R,

∴OC₁=,OC₂=

∴-=1.

解这个方程得R²=9,

∴S_球=4πR²=36π(cm²).

∴球的表面积是36π cm².

  绿色通道:球的表面积和体积都是半径R的函数.对于和球有关的问题,通常可以在轴截面中建立关系.画出轴截面是正确解题的关键.