Question

正方形的四个顶点分别是（2，2）、（-2，2）、（-2，-2）、（2，-2），P点在正方形内，且P点到各边的距离的平方和为20，并与直线l：

3

x+y=2+

3

的距离最短，则P点坐标是（　　）

• A．(

  2

  2

  ，

  6

  2

  )
• B．（1，1）
• C．(

  6

  2

  ，

  2

  2

  )
• D．（-

  1

  2

  ，

  7

  2

  ）

Answer 1

分析：设出P的坐标，利用P点在正方形内，且P点到各边的距离的平方和为20，求出P的轨迹方程，然后通过轨迹方程与直线l的关系，求出P点坐标．

解答：解：设P（x，y），因为正方形的四个顶点分别是（2，2）、（-2，2）、（-2，-2）、（2，-2），
P点在正方形内，且P点到各边的距离的平方和为20，
所以（x-2）²+（x+2）²+（y-2）²+（y+2）²=20，即x²+y²=2，
P的轨迹方程是以（0，0）为圆心，以

2

为半径的圆，
P的轨迹上的点与直线l：

3

x+y=2+

3

的距离最短，如图，
就是OP与圆的图形在第一象限内的交点，并且OP⊥l；
OP的斜率为：

3

3

，OP的方程为：y=

3

3

x，
所以

y= 3 3 x x2+y2=2

，解得

x= 6 2 y= 2 2

或

x=- 6 2 y=- 2 2

（舍去）．
所求P点坐标是(

6

2

，

2

2

)．
故选C．

点评：本题考查曲线轨迹方程的求法直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想与数形结合的应用．