Question

已知曲线y=xcosx+1在点(

π

2

，1)处的切线与直线y=ax+1垂直，则实数a=

 

．

Answer 1

分析：求出函数的导函数y′，根据导数的几何意义，得到曲线f（x）=xcosx+1在点(

π

2

，1)处的切线的斜率，由斜率之积等于-1，即可求得a的值．

解答：解：∵y=xcosx+1，
∴y′=cosx-xsinx，
根据导数的几何意义，曲线y=xcosx+1在点(

π

2

，1)处的切线的斜率k=cos

π

2

-

π

2

sin

π

2

=0-

π

2

=-

π

2

，
∵曲线y=xcosx+1在点(

π

2

，1)处的切线与直线y=ax+1垂直，
∴-

π

2

×a=-1，
∴a=

2

π

．
故答案为：

2

π

．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线与直线的位置关系．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．直线与直线的位置关系主要有相交、平行，本题考查了相交中的特殊情况-垂直，两条直线垂直，可以运用斜率的乘积等于-1进行求解．属于中档题．