Question

已知长方体AC₁中，棱AB=BC=1，棱BB₁=2，连接B₁C，过B点作B₁C的垂线交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求证：A₁C⊥平面EBD；
（2）求点A到平面A₁B₁C的距离；
（3）求平面A₁B₁C与直线DE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）以A为原点，

AB

，

AD

，

AA1

分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，然后求出

BD

与

BE

，然后根据向量的数量积判定垂直关系，A₁C⊥BD，A₁C⊥BE，又BD∩BE=B满足线面垂直的判定定理所需条件；
（2）连接AE₁，A到平面A₁B₁C的距离，即三棱锥A-A₁B₁C的高，根据等体积法可知VA-A1B1C=VC-A1B1A，求出高即可；
（3）连接DF，根据BE⊥平面A₁B₁C，可知DF是DE在平面A₁B₁C上的射影，从而∠EDF是DE与平面A₁B₁C所成的角，最后在Rt△FDE中，求出此角的正弦值即可．

解答：解：（1）证明：以A为原点，

AB

，

AD

，

AA1

分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，那么A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、A₁（0，0，2）、B₁（1，0，2）、C₁（1，1，2）、D₁（0，1，2），

A1C

=(1，1，-2)，

BD

=(-1，1，0)，…（2分）
设E（1，1，z），则：

BE

=(0，1，z)，

CB1

=(0，-1，2)，
∵BE⊥B₁C∴

BE

•

CB1

=-1+2z=0，z=

1

2

，∴E(1，1，

1

2

)，

BE

=(0，1，

1

2

)，
∵

A1C

•

BD

=-1+1+0=0，

A1C

•

BE

=0+1-1=0，∴A₁C⊥BD，A₁C⊥BE，…（4分）
又BD∩BE=B∴A₁C⊥平面EBD．…（5分）
（2）连接AE₁，A到平面A₁B₁C的距离，即三棱锥A-A₁B₁C的高，设为h，…（6分）
S△A1B1C=

5

2

，VC-A1B1A=

1

3

，由VA-A1B1C=VC-A1B1A得：

1

3

×

5

2

h=

1

3

，h=

2 5

5

，…（8分）
∴点A到平面A₁B₁C的距离是

2 5

5

．…（9分）
（3）连接DF，∵A₁C⊥BE，B₁C⊥BE，A₁C∩B₁C=C，∴BE⊥平面A₁B₁C，∴DF是DE在平面A₁B₁C上的射影，∠EDF是DE与平面A₁B₁C所成的角，…（11分）
设F（1，y，z），那么

BF

=(0，y，z)，

CF

=(-1，y-1，z)，

B1C

=(0，1，-2)，∵

BF

•

B1C

=0∴y-2z=0①∵

CF

∥

B1C

，∴z=2-2y②由①、②得y=

4

5

，z=

2

5

，

DE

=(1，0，

1

2

)，

EF

=(0，-

1

5

，-

1

10

)…（12分）
在Rt△FDE中，DE=

5

2

，EF=

5

10

．∴sin∠EDF=

EF

ED

=

1

5

，因此，DE与平面A₁B₁C所成的角的正弦值是

1

5

．…（14分）

点评：本题主要考查了用空间向量求直线与平面的夹角，以及点面间的距离计算，属于中档题．