Question

已知函数f（x）=
（1）当时，求f（x）的最大值；
（2）设g（x）=[f（x）-lnx]•x²，k是g（x）图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f'（x）≥0，f（x）单调递增，f'（x）＜0，f（x）单调递减求得f（x）_max=f（x₂）
（2）由g（x）=[f（x）-lnx]•x²=ax-x³不妨设任意不同两点p₁（x₁，y₁），p₂（x₂，y₂），其中x₁＜x₂
则由斜率公式得由k≤1知：建立a＜1+（x₁²+x₁x₂+x₂²）恒成立，从而求解．
解答：解：（1）当-2≤a＜时，由f'（x）=0得x₁=．（2分）
显然-1≤x₁＜，＜x₂≤2，∴．
又f'（x）=-
当≤x≤x₂时，f'（x）≥0，f（x）单调递增；
当x₂＜x≤2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，（5分）
∴f（x）_max=f（x₂）=
=-．（6分）
（2）存在符合条件
因为g（x）=[f（x）-lnx]•x²=ax-x³
不妨设任意不同两点p₁（x₁，y₁），p₂（x₂，y₂），其中x₁＜x₂
则（10分）
由k≤1知：a≤1+（x₁²+x₁x₂+x₂²）
又故
故存在符合条件．（12分）
点评：本题主要考查导数，一是用导数法求函数的最值，二是建立模型考查不等式恒成立，要注意讨论．