Question

已知函数f(x)=

log2(x+3)，x∈(-3，1) 1-kx，x∈[1，+∞)

，若方程f（x）=a（a∈R）至少有一个实数解，则实数k的取值范围是

[-1，0）

．

Answer 1

分析：先求出函数f（x）=log₂（x+3）的值域，并画出图象，要使方程f（x）=a（a∈R）至少有一个实数解，则当x∈[1，+∞）时，函数f（x）=1-kx的值域必包含函数f（x）=log₂（x+3）的值域在实数集R中的补集，进而求出答案．

解答：解：当x∈（-3，1）时，函数f（x）=log₂（x+3）的值域是（-∞，2），
要使方程f（x）=a（a∈R）至少有一个实数解，则当x∈[1，+∞）时，函数f（x）=1-kx的值域必包含[2，+∞），
∴当x∈[1，+∞）时，1-kx≤2恒成立，
?当x∈[1，+∞）时，0＞k≥[-

1

x

]max，解得-1≤k＜0．
故答案为[-1，0）．

点评：由题意正确得出二函数y=log₂（x+3）、y=1-kx的值域间的关系及数形结合是解题的关键．