Question

已知当x∈（-

π

6

，π）时，不等式cos2x-2asinx+6a-1＞0恒成立，求实数a的取值范围（　　）

• A、[-

  1

  2

  ，1]
• B、[-1，0]
• C、[-

  3

  2

  ，0]
• D、（

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：先利用二倍角公式把题设不等式转化为关于sinx的一元二次不等式，求得sinx的范围，利用x的范围可求得sinx的范围，进而根据不等式恒成立推断出（-a-

1

2

a2+12a

）＜2＜-

1

2

＜1＜（a+

1

2

a2+12a

），进而求得a的范围．

解答：解：cos2x-2asinx+6a-1＞0
∴1-2sin²x-2asinx+6a-1＞0
∴sinx²+asinx-3a＜0
∴sinx∈（-a-

1

2

a2+12a

），（a+

1

2

√

a2+12a

）
∵x∈（-

π

6

，π）∴sinx∈（-

1

2

，1）
∴（-a-

1

2

a2+12a

）＜2＜-

1

2

＜1＜（a+

1

2

a2+12a

）
∴a＞

1

2

故选D．

点评：本题主要考查了三角函数的最值．考查了三角函数与不等式的综合．