Question

(1)一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,那么扇形的圆心角是多少弧度?扇形的面积是多少?

(2)已知一扇形的周长为c(c＞0),当扇形的中心角为多大时,它有最大的面积?

Answer 1

解:(1)设扇形的圆心角是θ弧度,则扇形的弧长是rθ,扇形的周长是2r+rθ.

    由题意可知2r+rθ=πr.

    ∴θ=π-2(弧度).

    扇形的面积为S=r²θ=r²(π-2).

    (2)设扇形的半径为r,中心角为θ弧度,扇形的面积为S,则c=2r+rθ,r=,S=r²θ=.

    对此方程,求最值有如下三种方法:

    方法一:考虑到运用判别式法求分式函数的最值,则有

    2Sθ²+(8S-c²)θ+8S=0,又θ有实数解,

    ∴Δ=(8S-c²)²-4·2S·8S≥0,即S≤.

    将S=代入上述方程,得θ²-4θ+4=0,解得θ=2.

    ∴当扇形中心角θ=2弧度时,扇形有最大面积S_max=.

    方法二:若考虑到运用均值不等式,则有S=r²θ=·2r·rθ≤()²=·()²=.当且仅当2r=rθ,即θ=2时,取“=”.

    方法三:S==≤=.

    当且仅当θ=2时取“=”.

讲评:本题主要考查弧度与角度的换算,弧长公式及扇形面积计算公式.(2)中运用了三种不同方法求得面积的最大值,请读者比较三种解法的优劣,体会不同解题思路的形成过程,从而优化解题结构.