Question

已知函数f_n（x）=x³-nx-1（x＞0，n∈N^*）．
（Ⅰ）求函数f₃（x）的极值；
（Ⅱ）判断函数f_n（x）在区间上零点的个数，并给予证明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出函数f₃（x）的导函数，在定义域内根据导函数的符号判断原函数在不同区间内的单调性，由单调性分析极值；
（Ⅱ）由可知函数f_n（x）在区间上有零点，然后利用导函数的符号得到函数f_n（x）在区间上单调递增，从而得到答案．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴，
∵当x＞1时，；当0＜x＜1时，．
∴当x=1时，f₃（x）取得极小值-3，无极大值；
（Ⅱ）函数f_n（x）在区间上有且只有一个零点．
证明：
∵，
，
，∴函数f_n（x）在区间上必定存在零点．
∵，∴当时，，
∴f_n（x）在区间上单调递增，
∴函数f_n（x）在区间上的零点最多一个．
综上知：函数f_n（x）在区间上存在唯一零点．
点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，考查了零点存在性定理，单调函数在区间[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，则函数在区间（a，b）上有唯一零点，是中档题．