Question

已知数列{x_n}满足x₁=x₂=1并且

xn+1

xn

=λ

xn

xn-1

，(λ为非零参数，n=2，3，4，…）．
（1）若x₁、x₃、x₅成等比数列，求参数λ的值；
（2）设0＜λ＜1，常数k∈N^*且k≥3，证明

x1+k

x1

+

x2+k

x2

+…+

xn+k

xn

＜

λk

1-λk

(n∈N*).

Answer 1

（1）由已知x₁=x₂=1，且

x3

x2

=λ

x2

x1

?x3=λ，

x4

x3

=λ

x3

x2

?x4=λ3，

x5

x4

=λ

x4

x3

?x5=λ6.
若x₁、x₃、x₅成等比数列，
则x₃²=x₁x₅，即λ²=λ⁶．而λ≠0，
解得λ=±1．
（2）证明：设an=

xn+1

xn

，由已知，数列{a_n}是以

x2

x1

=1为首项、λ为公比的等比数列，
故

xn+1

xn

=λn-1，
则

xn+k

xn

=

xn+k

xn+k-1

.

xn+k-1

xn+k-2

xn+1

xn

=λ^n+k-2．λ^n+k-3λ^n-1
λkn+

k(k-3)

2

.
因此，对任意n∈N^*，

x1+k

x1

+

x2+k

x2

++

xn+k

xn

=λk+

k(k-3)

2

+λ2k+

k(k-3)

2

++λkn+

k(k-3)

2

=λ

k(k-3)

2

(λk+λ2k++λnk)
=λ

k(k-3)

2

λk(1-λnk)

1-λk

.
当k≥3且0＜λ＜1时，0＜λ

k(k-3)

2

≤1，0＜1-λnk＜1，
所以

x1+k

x1

+

x2+k

x2

++

xn+k

xn

＜

λk

1-λk

(n∈N*).