Question

(广东六校联考模拟)如下图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．

(1)求证：CD⊥AE；

(2)求证：PD⊥平面ABE：,

(3)求二面角A－PD－C的正弦值．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA，又CD⊥AC，，故CD⊥面PAC，面PAC，故CD⊥AE．　　　　(4分) (2)PA=AB=BC，∠ABC=60°， 故PA=AC．E是PC的中点，故AE⊥PC． 由(1)知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD， 故AE⊥PD．易知BA⊥PD，故PD⊥面ABE．　　　　(5分) (3)过点A作AF⊥PD，垂足为F，连结EF． 由(2)知，面，故是二面角的一个平面角． 设AC=a，则， 从而， 故．　　　　(12分) 故二面角A－PD－D的正弦值为．