Question

已知函数y=x+

4

x

．
（1）判断此函数在（0，2）的单调性，并用定义证明；
（2）判断此函数的奇偶性；
（3）求在区间[-2，-1]上的最值．

Answer 1

分析：（1）根据函数单调性的定义判断此函数在（0，2）的单调性，并用定义证明；
（2）根据函数奇偶性的定义判断此函数的奇偶性；
（3）根据函数的单调性和奇偶性的关系，求函数在区间[-2，-1]上的最值即可．

解答：解；（1）设y=f（x）=x+

4

x

．
任设0＜x₁＜x₂＜2，
则f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=(x1-x2)

x1x2-4

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜2，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数函数在（0，2）的单调递减．
（2）函数的定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称．
∵f（-x）=-x-

4

x

=-（x+

4

x

）=-f（x），．
∴函数f（x）为奇函数．
（3）由（1）（2）知f（x）在[-2，-1]上是减函数，
∴当x=-1时，f（x）取得最小值f（-1）=-5，
当x=-2时，f（x）取得最大值f（-4）=-4．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．