Question

【题目】如图，点是圆内的一个定点，点是圆上的任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)点， ，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：

本题考查曲线方程的求法和直线与圆锥曲线的位置关系.（1）由条件根据定义法求解曲线方程.（2）设出直线的方程，然后根据根与系数的关系求得点的坐标.由点， ， 共线可得点的横坐标，可得直线与轴的交点纵坐标为，由此可得， ，计算后可得结果.

试题解析：

(1)由题意得点在的垂直平分线上，

所以，

∴.

∴点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，

设椭圆的方程为,

则， ，

∴.

所以曲线的方程为.

(2)由题设知直线的斜率存在.设直线的方程为，

由消去整理得

，

设， ，

则，

又，

所以，

所以，

因为点， ， 共线，故，

即，

所以，

又直线与轴的交点纵坐标为，

所以， ，

所以.