Question

已知函数f(x)＝log_a(1－a^x)，(a＞0且a≠1)．

(1)求f(x)的定义域、值域；

(2)证明f(x)在定义域上是减函数；

(3)求证：函数f(x)的图象关于直线y＝x对称．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)函数f(x)的定义域即不等式1－ax＞0的解集，利用指数函数的单调性不难得到，而其值域必须由中间变量u＝1－ax的取值范围来确定．(2)分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论指数函数与对数函数的单调性可以证得．(3)即证明f(x)和自身互为反函数． 　　解：(1)由1－ax＞0，得ax＜1．当a＞1时，得x＜0；当0＜a＜1时，得x＞0． 　　又0＜ax＜1，故0＜1－ax＜1，当a＞1时，得y＜0；当0＜a＜1时，得y＞0． 　　综上可得：当a＞1时，函数f(x)的定义域和值域都是(－∞，0)；当0＜a＜1时，函数f(x)的定义域和值域都是(0，＋∞)． 　　(2)证明：当a＞1时，任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则＜＜1，于是1－＞1－＞0，从而loga(1－)＞loga(1－)，即f(x1)＞f(x2)，故此时函数为减函数．当0＜a＜1时，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则1＞＞，于是0＜1－＜1－，从而loga(1－)＞loga(1－)，即f(x1)＞f(x2)，故此时函数为减函数． 　　所以无论a＞1还是0＜a＜1，函数f(x)在其定义域内都是减函数． 　　(3)证明：由y＝loga(1－ax)得1－ax＝ay，即ax＝1－ay，故x＝loga(1－ay)，于是f－1(x)＝loga(1－ax)．又由(1)可知，f(x)的定义域和值域相同，从而f(x)与f－1(x)的定义域相同，因此f－1(x)＝f(x)．由互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称知，函数f(x)的图象关于直线y＝x对称． 　　点评：在求对数函数的定义域和值域时，要注意讨论底数的取值范围，特别是在求值域时要先求1－ax的范围，再由a的取值确定值域．若一个函数的图象本身关于直线y＝x对称，就是指这个函数的反函数是其本身，这个知识点要对学生强调一下．