Question

在辽阔的草原上，一骑士从某一出发点沿着与正东方向逆时针成θ(0＜θ＜

π

2

)的方向前进m千米后，再按逆时针方向偏转θ角方向再前进m千米，如此进行下去，正当他前进的路程为3m千米时，恰好处在出发点正北方向．
（1）求θ的值；
（2）他能回到原出发地吗？至少需多少路程？

Answer 1

分析：（1）由已知中一骑士从某一出发点沿着与正东方向逆时针成θ(0＜θ＜

π

2

)的方向前进m千米后，再按逆时针方向偏转θ角方向再前进m千米，我们可以画出满足条件的草图，并求出

OA

、

AB

，

BC

向量的坐标（含参数m，θ），由他前进的路程为3m千米时，恰好处在出发点正北方向，我们可以构造出满足条件的方程组，解方程组即可求出θ的值；
（2）根据（1）的结论，可得若它要回到原点，则他的先进轨迹组成一个正八边形，进而得到答案．

解答：解（1）如图所示

OC

=

OA

+

AB

+

BC

①（1分）

OA

=(mcosθ•msinθ)

AB

=(mcos2θ•msin2θ)

BC

=(mcos3θ•msin3θ)

OC

=m(cosθ+cos2θ+cos3θ•sinθ+sin2θ+sin3θ)（4分）
当点C在正北方向即cosθ+cos2θ+cos3θ=0cos（2θ-θ）+cos2θ+cos（2θ+θ）=02cosθcos2θ+cos2θ=0
又θ∈(0，

2

2

)∴2cosθ+1＞0
∴cos2θ=0
∴θ=

π

4

（7分）
（2）能（9分）
∵θ=

π

4

∴以O，A，B，C
为顶点可作一个正八边形
∴至少需要8m千米回到原出发点（13分）

点评：本题考查的知识点是已知三角函数模型的应用问题，其中根据正当他前进的路程为3m千米时，及向量加法的坐标运算，构造关于数m，θ的方程是解答本题的关键．