题目内容

在我校“学雷锋”活动月的一次活动中，甲、乙、丙、丁戊五位同学随机地选择承担A、B、C、D四项不同任务中的一项．
（1）若每项任务至少有一个同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；
（2）设这五位同学选择承担任务的项数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

解：（1）设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件A，则P（A）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率为P（ $\text{[math]}$ ）=1-P（A）= $\text{[math]}$
（2）随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，则
P（ξ=1）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；P（ξ=2）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；P（ξ=3）= $\text{[math]}$ ；P（ξ=4）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
∴ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

∴Eξ=1× $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ +4× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先求甲、乙两人同时承担同一项任务的概率，再利用对立事件求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；
（2）确定随机变量ξ的可能取值，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列与数学期望．
点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．