Question

（2008•闵行区二模）若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足

Sn

S2n

为常数，则称该数列为S数列．
（1）判断a_n=4n-2是否为S数列？并说明理由；
（2）若首项为a₁的等差数列{a_n}（a_n不为常数）为S数列，试求出其通项；
（3）若首项为a₁的各项为正数的等差数列{a_n}为S数列，设n+h=2008（n、h为正整数），求

1

Sn

+

1

Sh

的最小值．

Answer 1

分析：（1）由等差数列的通项公式找出等差数列的首项和公差，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S_n和S_2n，求出

Sn

S2n

等于

1

4

为常数，所以得到该数列为S数列；
（2）设此数列的公差为d，根据首项和公差，利用等差数列的前n项和的公式表示出S_n和S_2n，因为此数列为S数列，得到

Sn

S2n

等于常数，设比值等于k，去分母化简后得到关于n的一个多项式等于0，令其系数和常数项等于0即可求出k和d值，根据首项和公差d写出该数列的通项公式即可．
（3）根据已知条件首项为a₁的各项为正数的等差数列{a_n}为S数列，设n+h=2008，利用基本不等式求出

1

Sn

+

1

Sh

的最小值．

解答：解：（1）由a_n=4n-2，得

Sn

S2n

=

1

4

，所以它为S数列；                       （4分）
（2）假设存在等差数列{a_n}，公差为d，
则

Sn

S2n

=

a1n+ 1 2 n(n-1)d

2a1n+ 1 2 •2n(2n-1)d

=k（常数）（6分）
∴2a₁n+n²d-nd=4a₁kn+4n²dk-2nkd化简得d（4k-1）n+（2k-1）（2a₁-d）=0①
由于①对任意正整数n均成立，
则

d(4k-1)=0 (2k-1)(2a1-d)=0

解得：

d=2a1≠0 k= 1 4 .

（8分）
故存在符合条件的等差数列，
其通项公式为：a_n=（2n-1）a₁，其中a₁≠0（10分）
（3）∵SnSh=

1

4

(a1+an)•(a1+ah)•nh=(nh)2

a

2 1

≤(

n+h

2

)4

a

2 1

=10044

a

2 1

（12分）
∴

1

Sn

+

1

Sh

≥

2

SnSh

≥

2

10042a1

=

1

504008a1

．（14分）
其最小值为

1

504008a1

，当且仅当n=h=1004取等号                   （16分）

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，掌握题中的新定义并会利用新定义化简求值，是一道综合题．