题目内容
【题目】已知抛物线
上一点
到焦点
的距离
，倾斜角为
的直线经过焦点，且与抛物线交于两点
、
.
（1）求抛物线的标准方程及准线方程；
（2）若为锐角，作线段
的中垂线
交
轴于点
.证明：
为定值，并求出该定值.
【答案】（1）抛物线的方程为
，准线方程为
；
（2）
为定值
，证明见解析.
【解析】
（1）利用抛物线的定义结合条件
，可得出
，于是可得出点
的坐标，然后将点的坐标代入抛物线的方程求出
的值，于此可得出抛物线的方程及其准线方程；
（2）设直线
的方程为
，设点
、
，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去
，列出韦达定理，计算出线段的中点
的坐标，由此得出直线
的方程，并得出点
的坐标，计算出
和
的表达式，可得出
，然后利用二倍角公式可计算出为定值，进而证明题中结论成立.
（1）由抛物线的定义知，
，
.
将点
代入
，得
，得
.
抛物线的方程为，准线方程为；
（2）设点、，设直线的方程为，
由
，消去得：
，则
，
，
.
设直线中垂线的方程为：
，
令
，得：
，则点
，
，
.
，
故为定值.
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