Question

【题目】已知等差数列的前项的和为，公差，若，，成等比数列，；数列满足：对于任意的，等式都成立.

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：数列是等比数列；

（3）若数列满足，试问是否存在正整数，（其中），使，，成等比数列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在

【解析】

（1）将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，由此求得数列的通项公式.

（2）根据递推关系式进行作差变形，求得，由此证得数列是等比数列.

（3）根据，，成等比数列，则，，成等差数列，由（2）求得，由此求得，，根据单调递减，对进行分类讨论，由此求得的值.

（1）设数列公差为，由题设得.

即，解得.

∴数列的通项公式为：.

（2）∵

∴，①

∴，②

由得，③

∴，④

由得，由①知，，∴.

又，∴数列是等比数列.

（3）假设存在正整数，（其中），使，，成等比数列，则，，成等差数列.

由（2）可知：，∴.

于是，.

由于，所以

因为当时，，即单调递减，

所以当时，，不符合条件，

所以或，

又，所以，所以

当时，得，无解，

当时，得，所以，

综上：存在唯一正整数数组，使，，成等比数列.