题目内容

已知函数 $数学公式$ 上的最小值是a_n（n∈N^）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明 $数学公式$ ；
（3）在点列A_n（2n，a_n）中，是否存在两点A_i，A_j（i，j∈N^）使直线A_iA_j的斜率为1？若存在，求出所有数对（i，j），若不存在，说明理由．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ …（2分）
当且仅当 $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ 时，
f（x）取得最小值 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．…（4分）
（2）证明∵ $\text{[math]}$ ，…（6分）
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．…（9分）
（3）不存在．
设A_i（2i，a_i），A（2j，a_j），（其中i，j∈N^*），
则 $\text{[math]}$ …（10分）
= $\text{[math]}$ …（12分）
= $\text{[math]}$ ．
故不存在存在两点A_i，A_j（i，j∈N^*）使直线A_iA_j的斜率为1．…（14分）
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，知当且仅当 $\text{[math]}$ 时，f（x）取得最小值，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由 $\text{[math]}$ ，能够证明 $\text{[math]}$ ．
（3）设A_i（2i，a_i），A（2j，a_j），则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．故不存在存在两点A_i，A_j（i，j∈N^*）使直线A_iA_j的斜率为1．
点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．