Question

已知各项为正数的数列{a_n}的前n项和为{S_n}，首项为a₁，且2，a_n，S_n成等差数列，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=log2an，cn=

bn

an

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由题意可得，2a_n=2+S_n，结合2a_n-1=2+S_n-1（n≥2）可得数列a_n与a_n-1的关系，结合特殊数列的通项公式可求
（II）由b_n=log₂a_n=n，可得Cn=

bn

an

=

n

2n

，利用乘公比错位相减可求和

解答：解：（I）由题意可得，2a_n=2+S_n①
∴2a_n-1=2+S_n-1（n≥2）②
①-②可得，a_n=2a_n-1（n≥2）
∵2a₁=2+S₁∴a₁=2
由等比数列的通项公式可得，an=2n
（II）∵b_n=log₂a_n=n，Cn=

bn

an

=

n

2n

∴T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①
∴

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
①-②可得，

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

∴Tn=2-

2+n

2n

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，乘公比错位相减求解数列的和方法是数列求和的重点与难点．